Mágica com o calendário

Peça a uma pessoa que, em um mês qualquer do calendário, ela delimite um “quadrado” 3 por 3, contendo 9 dias quaisquer. Veja o exemplo de uma escolha no calendário abaixo para o mês abril de 2011.

Depois, peça que ela informe qual é a menor data do quadrado, e diga que com apenas essa data você irá descobrir a soma de todas as datas escolhidas. Para isso, você deve somar a menor data (no caso, 6) com 8 e multiplicar o resultado por 9.

Ou seja, (6 + 8) x 9 = 14 x 9 = 126

(ou seja, 6 + 7 + 8 + 13 + 14 + 15 + 20 + 21 + 22 = 126).

Entenda o dígito na carteira de identidade

Há três anos, perdi minha carteira de identidade (RG), o que me obrigou a pedir a emissão da segunda via ao Estado.

Quando recebi o novo documento, notei que havia sido acrescido um dígito ao final do número do meu antigo RG. Segundo o funcionário que me atendeu, os novos registros estão sendo emitidos com esse dígito (dígito de controle) e os antigos estão sendo atualizados.

Na ocasião, não obtive uma resposta satisfatória sobre o motivo da mudança. Assim, guardei a curiosidade por três anos. Somente dias atrás, ao ler um livro sobre teoria da informação, compreendi o que realmente está em jogo com o acréscimo do dígito de controle, fato que compartilho com o leitor devido ao seu interesse matemático.

Segundo estatísticas, 90% dos erros cometidos por aqueles que precisam digitar grandes quantidades de números extensos -por exemplo, vários números de RG- são de dois tipos: erros singulares (digita-se apenas um algarismo errado, como 7328 em vez de 7326) ou de transposição (troca-se a ordem de um par de algarismos, por exemplo, registra-se 9465 em vez de 9456).

Para identificarem erros de um desses dois tipos, os sistemas modernos de informação propõem o acréscimo de um dígito de controle capaz de identificar se o número digitado contém ou não algum erro. No caso do nosso RG, o cálculo do dígito de controle começa com a soma do produto do último algarismo por 9 com o produto do penúltimo por 8 e assim sucessivamente até o primeiro algarismo. Para descobrir o dígito de controle do seu RG, basta procurar um número entre 0 e 10 que, multiplicado por 100 e acrescido à soma feita inicialmente, dará resto 0 na divisão por 11. Por exemplo, um RG número 3.021.415 terá dígito de controle igual a 4 porque (5.9+1.8+4.7+1.6+2.5+0.4+3.3 +100.4) dividido por 11 resulta resto 0. Pode-se demonstrar matematicamente que qualquer número de RG que seja digitado incorretamente por um erro singular ou de transposição causará uma incompatibilidade com o dígito de controle não resultando resto zero na divisão por 11.

Agora é a sua vez: pegue o seu RG e confira se o dígito de controle foi calculado corretamente (se o RG indica dígito de controle X, interprete isso como 10). 

José Luiz Pastore Mello*
Especial para a Folha

Calcule a idade ideal para casar

Recentemente, um jornal brasileiro de grande circulação publicou reportagem sobre uma curiosa fórmula, descoberta por um estatístico britânico, para calcular a idade ideal para um casamento.

De acordo com a notícia, a fórmula envolveria as variáveis X, Y e M, sendo X a idade em que uma pessoa deseja parar de namorar para se casar, Y a idade em que ela começa a busca pelo par ideal, ou seja, a idade em que inicia a fase do namoro, e M a idade em que efetivamente a pessoa deve abandonar a procura para assumir um casamento.

Afirmava-se ainda que cada pessoa poderia escolher valores diferentes para X e Y, dependendo de quando ela começa e de quando espera terminar a busca pelo par ideal, deixando por conta da fórmula o cálculo de M. Em linguagem matemática, isso quer dizer que X e Y são as variáveis independentes e M, a dependente.

A fórmula impressa no jornal era: M=[(Y+1)/2,718].X-Y.

Não contive minha curiosidade e decidi fazer algumas simulações com ela. Imaginei o caso de um jovem que inicia a fase do namoro aos 18 anos (Y) e que só espera se casar aos 25 (X). Surpreendentemente, a idade ideal sugerida pela fórmula para abandonar o namoro e assumir o compromisso do matrimônio foi, aproximadamente, 156 anos de idade.

Como outras simulações também resultaram em números estranhos, busquei na internet "Dennis Lindley", o nome do autor da pesquisa, e descobri que o equívoco do jornal brasileiro foi transcrever erroneamente a linguagem matemática das operações entre as variáveis independentes descritas pelo estatístico.

Quando Dennis Lindley afirma, no artigo original, que devemos "tomar Y, somar o resultado com 1 dividido por 2,718, divisão que será multiplicada por X menos Y", a correta interpretação matemática da expressão seria M=Y+[(1/2,718).(X-Y)].

O leitor poderá verificar, com o uso da fórmula correta, que a simulação para Y=18 e X=25 apresenta um resultado perfeitamente aceitável, M20, o que quer dizer que a idade ideal para o casamento da pessoa analisada no exemplo seria aos 20 anos.

Mais uma curiosidade: o número 2,718 que aparece na fórmula é uma aproximação do número irracional utilizado como base dos logaritmos naturais, cuja notação é a letra e.

O que fica como dica de estudo? Praticar a simulação de cálculos buscando verificar a plausibilidade dos resultados sempre é um bom caminho para a identificação de erros em matemática. 

Por José Luiz Pastore Mello*
Especial para a Folha

Prova dos nove substitui calculadora

Antes das calculadoras se tornarem populares, os contabilistas valiam-se de um truque para verificar se suas contas estavam corretas: a conhecida prova dos noves ou do "noves fora". Vamos ilustrar o truque para verificar o resultado da adição de 575 e 978, cujo cálculo correto é 1.553.

Primeiro, somamos todos os algarismos de 575, obtendo 17. Depois, somamos os algarismos de 17, obtendo 8. Pode-se demonstrar que o número final obtido, o 8, é o resto da divisão de 575 por 9, daí a origem da frase "575 noves fora dá 8". Procedendo da mesma forma, o "noves fora" de 978 será igual a 6, ou seja, o resto da divisão de 978 por 9 é igual a 6.

Ocorre que, ao somarmos os números 575 e 978, o "noves fora" do resultado obtido sempre será igual ao "noves fora" da soma do "noves fora" de 575 com o "noves fora" de 978. Então, para verificar se a conta de adição feita está correta, basta encontrar o "noves fora" do resultado obtido e checar se ele é igual ao "noves fora" de 14 (14 é a soma de 8 com 6). Na prática, a verificação ocorre da seguinte forma: "575 noves fora dá 8", "978 noves fora dá 6", "14 noves fora dá 5". Então o resultado da soma entre 575 e 978 "noves fora" também terá que ser igual a 5. Verifique que, de fato, "1.553 noves fora dá 5".

Vale lembrar que, se o resultado de uma conta de adição estiver correto e a prova dos noves for feita corretamente, ela sempre irá confirmar a exatidão da resposta, contudo, se obtivermos um resultado errado na adição, existem casos em que a prova dos noves não detecta o erro. Vale lembrar ainda que a prova dos noves também funciona na verificação do produto de dois números.

Surpreenda agora seus amigos com um truque de adivinhação inspirado na intrigante prova dos noves. Peça que seu amigo: 1) agrupe o dia, o mês e o ano de nascimento, formando um único número (por exemplo, 2 de agosto de 1977 será o número 02081977); 2) embaralhe os oito algarismos formando um novo número e, entre o número obtido e o anterior, subtraia o menor do maior; 3) some todos os algarismos do número obtido; 4) some novamente os algarismos do número obtido. Seja qual for a data de aniversário do seu amigo, afirme que o número final encontrado por ele é o onipresente 9.

José Luiz Pastore Mello

Como encontrar um número feliz?

Escolha um número natural maior do que 1 e calcule a soma dos quadrados dos seus algarismos. Pegue o número encontrado e repita a operação, calculando a soma dos quadrados dos seus algarismos. Repetindo esse processo sucessivamente, quando a seqüência calculada termina em 1, dizemos que o número submetido ao processo é um número "feliz", caso contrário, ele é chamado de número "triste". Por exemplo, pode-se verificar que o número 4.599 é feliz fazendo as seguintes contas: 4²+5²+9²+9²=203; 2²+0²+3²=13; 1²+3²=10; 1²+0²=1.

Uma vez encontrado um número feliz, outros tantos também podem ser obtidos observando-se a seqüência usada no processo de verificação da "felicidade" do número. Por exemplo, no caso de 4.599, a seqüência de verificação nos garante que os números 10, 13 e 203 também são felizes.

Qualquer permutação dos algarismos de um número feliz irá gerar outro número feliz, como é o caso, por exemplo, de 9.549, obtido a partir de uma permutação dos algarismos de 4.599. Além disso, a introdução de zeros em um número feliz sempre conduz a um outro número feliz, como são os casos dos números 45.990, 459.900, 4.599.000 etc. Essa observação nos delega a certeza de que existem infinitos números felizes.

O leitor poderá verificar por conta própria que os números tristes não têm um ponto final fixo, viajando eternamente em torno do mesmo ciclo: 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, voltando ao 4.

Encontrar novos números felizes é um bom exercício para o raciocínio, mas tem gente levando a sério demais o que não passa de uma brincadeira para os matemáticos. No início deste ano, um numerólogo afirmou em entrevista que, diferentemente de 2003, que foi feliz do ponto de vista numerológico, o período de 2004 a 2007 será extremamente desfavorável. Tudo nos leva a crer que a análise pessimista se fundamenta na definição de números felizes e tristes, já que, sob esse ponto de vista, 2003 e 2008 são números felizes, e, de 2004 a 2007, temos um intervalo de números tristes.

Utilizando a mesma subjetividade presente no jogo de palavras do numerólogo, proponho um desafio ao leitor. Adivinhe a idade de João a partir do seguinte diálogo com sua filha Ana: (Ana) "Pai, você não se acha muito quadrado?"; (João) "Querida filha, sou quadrado, mas sou feliz".

José Luiz Pastore Mello*
Especial para a Folha

Porcentagem

A utilização de porcentagem vem desde a época do Império Romano (27 a.C. a 476 d.C.).
O imperador Augusto (27 a.C. a 14 d.C.) impunha uma taxa de 1/100 sobre negócios realizados em leilões.
O símbolo de porcentagem só apareceu muito mais tarde.
No século XV, os escribas italianos começaram a abreviar a expressão "por cento". Algumas das abreviações: P100; p cento e pc°.

Truque numérico

Multiplicar números de 2 algarismos em que os das unidades somam 10 e os das dezenas são iguais.

Exemplo: 81 x 89

1 - aumenta um dos algarismos da dezena de uma unidade e multiplica-o pelo outro: 9 ( 8 + 1 ) x 8 = 72

2 - multiplica os algarismos das unidades: 1 x 9 = 09 (quanto o produto dos algarismos das unidades tiver apenas um algarismo, é necessário colocar o zero à esquerda)

3 - Com dos dois resultados respectivamente, forme um número: 7209

4 - 81 x 89 = 7209

Outro exemplo:

72 x 78 = .... 8 x 7 = 56 ...... 2 x 8 = 16 ...... 5616